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类型专题2-8 应用一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版).docx

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    1、专题2.8 应用一元二次方程-重难点题型【北师大版】 【知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤】审:认真审题,分析题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系;设:用字母表示题目中的一个未知量;列:根据等量关系,列出所需的代数式,进而列出方程;解:解方程求出未知数的值;验:检验方程的解是否符合实际意义,不符合实际意义的舍去;答:写出答案,包括单位名称.【题型1 面积问题】【例1】(2020秋紫阳县期末)如图,在一块长为16m,宽为10m的矩形空地中,修建2条同样宽的小路(图中阴影部分),剩下的部分种植草坪,要使草坪的面积为135m2,求道路的宽度【分析】本题可设道路宽为x米,利用平移把不规则的

    2、图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变为了(16x)(10x)米2,进而即可列出方程,求出答案【解答】解:原图经过平移转化如图所示,设道路宽为xm,根据题意,得(16x)(10x)135,整理得:x226x+250,解得:x125(不合题意,舍去),x21则道路宽度为1m【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是明确题意,找出题目中的等量关系,列出相应的方程【变式1-1】(2020秋仙居县期末)为创建“绿色校园”,某学校准备将校园内一块长34m,宽20m的长方形空地建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草如图所示,要使种植花

    3、草的面积为608m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)【分析】设小道进出口的宽度为x米,然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可【解答】解:设小道进出口的宽度为x米,依题意得(342x)(20x)608,整理,得x237x+360解得x11,x236,3620(不合题意,舍去),x1答:小道进出口的宽度应为1米【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程【变式1-2】(2021春鄞州区期中)在“精准扶贫”工作中,某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些

    4、家禽,该单位给贫困户提供65m长的篱笆(全部用于建造长方形区域),并提供如图所示的两种方案:(1)如图1,若选取墙AB的一部分作为长方形的一边,其他三边用篱笆围成,则在墙AB上借用的CF的长度为多少?(2)如图2,若将墙AB全部借用,并在墙AB的延长线上拓展BF,构成长方形ADEF,BF,FE,ED和DA都由篱笆构成,求BF的长【分析】(1)设CF的长度为xm,则CD=65-x2 m,由长方形的面积为450m2,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,再结合墙AB的长为25m,即可确定x的值;(2)设BF的长为ym,则AD(20y)m,由长方形的面积为450m2,即可得出关于y的一元

    5、二次方程,解之取其正值即可得出结论【解答】解:(1)设CF的长度为xm,则CD=65-x2 m,依题意得:x65-x2=450,解得:x120,x245墙AB的长为25m,x45不合题意,舍去,CF20答:在墙AB上借用的CF的长度为20m(2)设BF的长为ym,则AD=65-y-(25+y)2=(20y)m,依题意得:(25+y)(20y)450,解得:y15,y210(不合题意,舍去),BF5m答:BF的长为5m【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键【变式1-3】(2021春萧山区期中)某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的

    6、墙最大可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)建成后木栏总长45米(1)若饲养场(矩形ABCD)的一边CD长为8米,则另一边BC 米(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为180平方米,求边CD的长(3)饲养场的面积能达到210平方米吗?若能达到,求出边CD的长;若不能达到,请说明理由【分析】(1)由木栏总长为45米,即可求出BC的长;(2)设CDx(0x15)米,则BC(483x)米,根据饲养场(矩形ABCD)的面积为180平方米,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的

    7、值,再结合AD位置的墙最大可用长度为27米(ADBC),即可确定结论;(3)设CDy(0y15)米,则BC(483y)米,根据饲养场(矩形ABCD)的面积为210平方米,即可得出关于y的一元二次方程,由根的判别式240,即可得出饲养场的面积不能达到210平方米【解答】解:(1)BC4582×(81)+124(米)故答案为:24(2)设CDx(0x15)米,则BC45x2(x1)+1(483x)米,依题意得:x(483x)180,整理得:x216x+600,解得:x16,x210当x6时,483x483×630(米),3027,不合题意,舍去;当x10时,483x483

    8、15;1018(米),符合题意答:边CD的长为10米(3)不能,理由如下:设CDy(0y15)米,则BC45y2(y1)+1(483y)米,依题意得:y(483y)210,整理得:y216y+700(16)24×1×70256280240,该方程没有实数根,饲养场的面积不能达到210平方米【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键【题型2 平均变化率问题】【例2】(2020秋柘城县月考)某农机厂四月份生产零件40万个,第二季度共生产零件162万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()A40(1+x)2162B4

    9、0+40(1+x)+40(1+x)2162C40(1+2x)162D40+40(1+x)+40(1+2x)162【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量增长前的量×(1+增长率),如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示五、六月份的产量,然后根据题意可得出方程【解答】解:依题意得五、六月份的产量为40(1+x)、40(1+x)2,40+40(1+x)+40(1+x)2162故选:B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,增长率问题,一般形式为a(1+x)2b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量【变式2-1】(2020秋锡山区期中)根据疫情需要

    10、,某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元,为提高的生产效率改进了生产技术,连续两次降低成本,两次降低后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是 【分析】设平均每次降低成本的百分率是x,根据生产该产品原来的成本价及经过连续两次降低成本后的成本价,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论【解答】解:设平均每次降低成本的百分率是x,依题意,得:100(1x)281,解得:x10.110%,x21.9(不合题意,舍去)故答案为:10%【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键【变式2-2】(2020秋平江县期中)习近平总书记说:“读书

    11、可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”某市为响应该市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放图书馆据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆288人次,若进馆人次的月平均增长率相同(1)求进馆人次的月平均增长率;(2)因条件限制,该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由【分析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次,再根据第三个月进馆达到288次,列方程求解;(2)根据(1)所计算出的月平均增长率,计算出第四个月的进馆人次,再与500比较大小即可【解答】解:(1)

    12、设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意,得:128 (1+x)2288解得x10.5;x22.5(舍去)答:进馆人次的月平均增长率为50%(2)第四个月进馆人数为288(1+12)432(人次),由于432500答:市图书馆能接纳第四个月的进馆人次【点评】本题考查了一元二次方程的应用,列出方程是解题的关键本题难度适中,属于中档题【变式2-3】(2020秋秦淮区期中)某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件,A、B两种产品出厂单价之比为2:1,由于订单的增加,工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价,10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等,B产品生

    13、产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半,B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍设B产品生产数量的增长率为x(x0)(1)用含有x的代数式填表(不需化简):9月份生产数量生产数量的增长率10月份生产数量产品A200 产品B100x (2)若9月份两种产品出厂单价的和为90元,10月份该工厂的总收入增加了4.4x,求x的值【分析】(1)根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等,B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半,B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空;(2)根据(1)中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90

    14、元列出方程并解答【解答】解:(1)由题意,得:9月份生产数量生产数量的增长率10月份生产数量产品A2002x200(1+2x) 产品B100x100(1+x)故答案是:2x;200(1+2x);100(1+x);(2)90×22+1=60(元)90×12+1=30(元)60×200(1+2x)2+30×100(1+x)(1+4x)(60×200+30×100)(1+4.4x)解得x10(舍去),x2=120即x的值是120【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,

    15、再求解【题型3 销售利润问题】【例3】(2020秋无锡期中)某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍(1)当每个纪念品定价为3.6元时,商店每天能卖出 件;(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?【分析】(1)直接利用每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件,进而得出当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出的件数;(2)利用销量×每件利润800,进而得出等式求出答案【解答】解:(1)每个定价3元,每天可以能卖出500件,

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