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类型专题2-4 用公式法求解一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版).docx

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    1、专题2.4 用公式法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】 【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】(2021春淮北月考)用公式法解方程:x25x10【变式1-1】(2020秋朝阳区期中)用公式法解方程:3x2x10【变式1-2】(2020春江干区期末)解下列一元二次方程:34x2-2x-12=0(公式法)【变式1-3】(2020秋达川区期末)解方程:3x243x+20(用公式法解)【题型2 求根公式的应用】【例2】(2020秋和平区期中)若一元二次方程x2+bx+40的两个实数根中较小的一个根是m(m0),则b+b2-16=()AmBmC2mD2m【变式2-1】(2020福州模拟)关于x

    2、的一元二次方程ax2+bx+c0的两根分别为x1=-b+b2+42,x2=-b-b2+42,下列判断一定正确的是()Aa1Bc1Cac1Dca=-1【变式2-2】(2020秋宜兴市校级月考)已知a是一元二次方程x24x+20的两个实数根中较小的根,(1)求a24a+2013的值;(2)化简求值:a2-2a+1a-1-1-2a+a2a-1【变式2-3】先阅读下列材料,然后回答问题:在一元二次方程ax2+bx+c0(a0)中,若各项的系数之和为零,即a+b+c0,则有一根为1,另一根为ca证明:设方程的两根为x1,x2,由a+b+c0,知b(a+c),x=-b±b2-4ac2a=(a+c

    3、)±(a+c)2-4ac2a=(a+c)±(a-c)2ax11,x2=ca(1)若一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的各项系数满足ab+c0,则两根的情况怎样,试说明你的结论;(2)已知方程(acbc)x2+(bcab)x+(abac)0(abc0)有两个相等的实数根,运用上述结论证明:2b=1a+1c【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】(2021河南模拟)下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是()Ax22x+20Bx(x2)1C(xk)(x+k)2x+1Dx2+10【变式3-1】(2021滨城区一模)关于x的一元二次方程x2+(k+2)x4+k0根的情

    4、况,下列说法正确的是()A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【变式3-2】(2021凉山州)函数ykx+b的图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2+bx+k10的根的情况是()A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【变式3-3】(2021春鹿城区校级期中)已知a,b,c分别是ABC的边长,则一元二次方程(a+b)x2+2cx+a+b0的根的情况是()A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法判断【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】(2021菏泽)关于x的方程(k1)2x2+(2k+1)x+10有实数根,

    5、则k的取值范围是()Ak14且k1Bk14且k1Ck14Dk14【变式4-1】(2021广安)关于x的一元二次方程(a+2)x23x+10有实数根,则a的取值范围是()Aa14且a2Ba14Ca14且a2Da14【变式4-2】(2021春台江区校级月考)若关于x的方程x2-mx+n0有两个相等的实根,则mn= 【变式4-3】(2021海门市模拟)关于x的方程x2+bx+c0有两个相等的实数根,x取m和m+2时,代数式x2+bx+c的值都等于n,则n 【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】(2021海淀区二模)关于x的一元二次方程x2mx+2m40(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有

    6、一个根小于1,求m的取值范围【变式5-1】(2021春萧山区期中)已知:关于x的方程kx2(4k3)x+3k30(1)求证:无论k取何值,方程都有实根;(2)若x1是该方程的一个根,求k的值;(3)若方程的两个实根均为正整数,求k的值(k为整数)【变式5-2】(2021广东模拟)已知关于x的一元二次方程x2(k+2)x+2k0(1)若x1是这个方程的一个根,求k的值和它的另一根;(2)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根(3)若等腰三角形的一边长为5,另两边长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长【变式5-3】(2020秋安居区期末)已知关于x的方程x2(m+3)x+4m40的两个实

    7、数根(1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根(2)若等腰三角形ABC的一边长a5,另两边b,c的长度恰好是这个方程的两个根,求ABC的周长【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】(2021郑州模拟)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*ba2+b22ab2,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如:5*652+622×5×621若方程x*kxk(k为实数)是关于x的方程,则方程的根的情况为()A只有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根【变式6-1】(2020春瑶海区期末)对于实数a、b,定义运算“”:ab=a2-b(ab)

    8、b2-a(ab),关于x的方程(2x+1)(2x3)t恰好有两个不相等的实数根,则t的取值范围是()At154Bt154Ct-174Dt-174【变式6-2】(2021春瑶海区期中)对于实数m、n,定义一种运算:mnmn+n(1)求232得值;(2)如果关于x的方程x(ax)=-14有两个相等的实数根,求实数a的值【变式6-3】(2020春丽水期中)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是全等的RtABC和RtBED的边长,易知AE=2c,这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题:(1)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b0必有实数根;(2)若x1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b0的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求ABC的面积

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