导数证明不等式.Zip

导数证明不等式（1）-隐零点技巧导数证明不等式（1）-隐零点技巧1 （2022河南郑州二模（文） ）已知函数 e21exf xx ， ln2xg xx.(1)求函数 g x的极值；(2)当 x0 时，证明： f xg x2 （2022全国高三专题练习）已知函数 lnf xxaxx.aR(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 lnf xxaxx存在极大值，且极大值为 1，证明： 2xf xex.3 （2022江西模拟预测（文） ）已知函数( )ln ()f xaxx aR.(1)讨论( )f x的单调性；(2)证明：当1a时，( )e1xf xx.4 （2022全国高三专题练习）已知函数 22xf xesinxaxae,其中2.71828.aRe，为自然对数的底数.(1)当0a 时，讨论函数 f x的单调性;(2)当112a时，求证:对任意的 0,0 xf x.5 （2021浙江模拟预测）已知函数 ln3f xxax，其中aR（1）讨论函数 f x的单调性；（2）当12a ，01x时，求证： 3exf xx6 （2021黑龙江高三期中（文） ）已知函数22( )3ln (0)f xxaxax a（1）若( )f x的极小值为22a，求实数a的值；（2）若2a，求证：( )(6)ln8f xxx7 （2022全国高三专题练习（理） ）已知函数 2ln ,f xaxaxx x且 0f x .（1）求 a；（2）证明： f x存在唯一的极大值点0 x，且2202ef x.8 （2021全国高三专题练习）已知函数 121xf xeaexaR.（1）若 f x存在极值，求a的取值范围；（2）当0a 时，证明： 2ln10f xex.9 （2021安徽合肥一中模拟预测（理） ）已知函数1( )lnxaef xxx.（1）讨论函数( )f x的单调性；（2）若1,)a，证明：ln()(1)1xaeaxex.10 （2022湖南常德一模）已知函数ln()( )elnaxf xxx（e2.71828是自然对数底数）.(1)当ea 时，讨论函数( )f x的单调性；(2)当ea 时，证明：( )(1)ef xa导数证明不等式（1）-隐零点技巧导数证明不等式（1）-隐零点技巧1 （2022河南郑州二模（文） ）已知函数 e21exf xx ， ln2xg xx.(1)求函数 g x的极值；(2)当 x0 时，证明： f xg x【答案】(1)极大值为12e，无极小值(2)证明见解析【解析】【分析】（1）首先确定 g x定义域为(0,),求导可得 21 ln xgxx，根据导数的应用，分0,ex和e,x时，两种情况讨即可得解；（2）要证 f xg x即证1ln2e0 xxxx，令 1ln2e0 xh xxxxx，求导利用隐零点问题的解决方法求得 min0h x即可.(1) ln2xg xx定义域为 21(0,),lngxxx，则，0,ex时， 2ln10 xgxx， g x在0,e单调递增，e,x时， 2ln10 xgxx， g x在e,单调递减，故函数 g x的极大值为 ee12g，无极小值(2)证明 f xg x等价证明12lnxxexx（0 x ） ，即1ln2e0 xxxx.令 1ln2e0 xh xxxxx 11111e1xxxh xxexxx，令 11exxx，则 x在0,上单调递增，而 1122101101eee00,11010 ，故 x在0,上存在唯一零点0 x，且01,110 x，00,xx时， 0,0 xh x， h x在00,xx上单调递减；0,xx时， 0,0 xh x， h x在0,xx上单调递增，故 010000minln2exh xh xxxx，又因为00 x即0101exx，所以00000ln1110 h xxxxx，从而 00h xh x，即 f xg x【点睛】本题考查了导数的应用，导函数( )0fx则原函数( )f x为增函数，( )0fx原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：（1）极值点在何处取得；（2）隐零点问题在求最值中的运用.2 （2022全国高三专题练习）已知函数 lnf xxaxx.aR(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若函数 lnf xxaxx存在极大值，且极大值为 1，证明： 2xf xex.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【详解】【试题分析】(1)当0a 时, f xx,故函数在0,上单调递增.当0a 或0a 时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（1）可知若函数 lnf xxax x存在极大值，则0a ，且111ae ，解得1a ， 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证2ln0 xexxx x.构造函数 2lnxh xexxx x,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零.【试题解析】（1）由题意0 x ， 1lnfxaa x 当0a 时， f xx，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，函数 1lnfxaa x 单调递增， 111ln00afxaa xxe ，故当110,axe 时， 0fx，当11,axe 时， 0fx，所以函数 f x在110,axe 上单调递减，函数 f x在11,axe 上单调递增； 当0a 时，函数 1lnfxaa x 单调递减， 111ln00afxaa xxe ，故当110,axe 时， 0fx，当11,axe 时， 0fx，所以函数 f x在110,axe 上单调递增，函数 f x在11,axe 上单调递减（2）由（1）可知若函数 lnf xxax x存在极大值，则0a ，且111ae ，解得1a ， 故此时 lnf xxx x，要证 2xf xex，只须证2lnxxx xex，及证2ln0 xexxx x即可，设 2lnxh xexxx x，0 x 2lnxh xexx ，令 g xh x 120 xgxex，所以函数 2lnxh xexx 单调递增，又11210eheee ， 1120he ，故 2lnxh xexx 在1,1e上存在唯一零点0 x，即0002ln0 xexx所以当00,xx， 0h x， 当0,xx时， 0h x，所以函数 h x在00,xx上单调递减，函数 h x在0,xx上单调递增，故 0200000lnxh xh xexxxx，所以只须证0200000ln0 xh xexxxx即可，由0002ln0 xexx，得0002lnxexx，所以00001lnh xxxx，又010 x ，所以只要00ln0 xx即可，当00ln0 xx时，000000ln0 xxxxxeex 所以00 xex 00ln0 xx与0002ln0 xexx矛盾，故00ln0 xx，得证（另证）当00ln0 xx时，000000ln0 xxxxxeex 所以00 xex 00ln0 xx与0002ln0 xexx矛盾；当00ln0 xx时，000000ln0 xxxxxeex 所以00 xex 00ln0 xx与0002ln0 xexx矛盾；当00ln0 xx时，000000ln0 xxxxxeex 得0002ln0 xexx，故 00ln0 xx成立，得00001ln0h xxxx，所以 0h x ，即 2xf xex【点睛】本题主要考查导数与单调性,考查利用导数证明不等式. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理3 （2022江西模拟预测（文） ）已知函数( )ln ()f xaxx aR.(1)讨论( )f x的单调性；(2)证明：当1a 时，( )e1xf xx.【答案】(1)见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论得到导函数的正负，求出函数的单调性； （2）利用隐零点求解函数的极值，最值，证明出不等式.(1)( )f x的定义域为(0,)， 11axfxaxx.当0a 时，( )0fx，所以( )f x在0,上单调递增.当0a 时，若10,xa，则( )0fx；若1xa ，则( )0fx.所以( )f x在10,xa上单调递增，在1xa ，上单调递减.综上所述：当0a 时，( )f x在0,上单调递增当0a 时，( )f x在10,xa上单调递增，在1xa ，上单调递减.(2)若1a 有 lnf xxx，设 lne1xh xxxx，0,x； 1111 e1exxh xxxxx ；令 1ext xx，0,x，则 21e0 xtxx 对任意0,x恒成立， 1ext xx在0,x上单调递减；又12e02t， 11 e0t ，01,12x，使得00010 xt xex，即001exx，则001lnlnexx，即00ln xx；因此，当00 xx时 0t x ，即 0h x， h x单调递增；当0 xx时， 0t x ，即 0h x， h x单调递减；故 00000ln10 1 10 xh xh xxxx e ，eln10 xxxx ，即eln1xxxx又1,0lnln1exaxxaxxxx eln1xxaxx.【点睛】函数单调性的求解，要对参数进行分类讨论，要结合题目特征，结合定义域，尽可能的对导函数因式分解，寻找导函数的零点，这是分类讨论的标准.4 （2022全国高三专题练习）已知函数 22xf xesinxaxae,其中2.71828.aRe，为自然对数的底数.(1)当0a 时，讨论函数 f x的单调性;(2)当112a时，求证:对任意的 0,0 xf x.【答案】(1) f x在, 上单调递减.(2)证明见及解析.【解析】【详解】分析：(1)将0a 代入( )f x ，对函数求导即可判定函数的单调性(2)将不等式转化为关于a的一次函数，讨论在112a时一次函数对任意的0,x两个端点都小于 0，即可证明 ,0f x 详解：(1) 0,xaf xesinxe 2sin04xxfxesinxcosxeexe; f x在, 上单调递减(2)要证220 xesinxaxae对0,x恒成立即证;220sinxaxae对0,x恒成立令 22g axasinxe,即证当1,12a时， 220g axasinxe恒成立即证; 221110 122120 2gsinxxegsinxxe 成立sin1xe 式成立现证明式成立:令 22, 2h xsinxxe hxcosxx设在00,x,使得002 ,0hxcosxx,则006x h x在00,x单调递增, 在0,x 单调递減 2200000cos2sin24xh x maxh xsinxxexe,=200sin7sin44x xxe006x，01sin0,2x 200sin737sin04416x xxee综上所述.在0,x, 0f x 恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题5 （2021浙江模拟预测）已知函数 ln3f xxax，其中aR（1）讨论函数 f x的单调性；（2）当12a ，01x时，求证： 3exf xx【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析； （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数( )fx，分类讨论确定不等式( )0fx（或( )0fx）的解，得单调区间；（2）不等式 3exf xx，作差( )(3)0 xf xx e，以a为主元，引入函数( )()ln3(3)xh ax axxe ，由( )h x单调性问题转化为证明11( )ln(3)3022xhxxex，再构造函数，利用导数求得最值可证【详解】解： （1）由题意知函数 f x的定义域为0,， 1fxax，当0a 时 0fx，函数 f x单调递增当0a 时，令 0fx，得10 xa，令 0fx，得1xa， f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减综上，0