第五章 导数极值点偏移专题（专题训练卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学优生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）.Zip

第五章 导数极值点偏移专题第五章 导数极值点偏移专题专题训练卷1 （2021 秋南明区月考）已知函数( )(2)xf xa xe，(21)( )axg xlnxx（其中e为自然对数的底数，a为常数） （1）讨论函数( )f x的单调性；（2）证明：当函数( )f x有极大值，且极大值为a时，若方程( )(g xm m为常数）有两个不等实根1x，2x，则122xx2已知函数2( )(0)axxf xae的极大值为21e(e为自然对数的底数）( ) I求a的值；（）若122xx且120 xx，求证：12()()f xf x3 （2021 秋南平月考）已知函数1( )xxf xe（1）求( )f x的单调区间与极值（2）设m，n为两个不相等的正数，且mlnnnlnmmn，证明：4mne4 （2021 秋相城区月考）已知函数2( )(2)f xaxaxlnx（1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围；（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为1x，2x，证明：122xxa5 （2021 秋沧州月考）已知函数( )xf xaex，0a （1）若1a ，求( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个不同的零点1x，2x，证明：12x xae6 （2021 秋河北月考）已知221( )2xf xea x，0a （1）若( ) 0f x ，求a的取值范围；（2）若12()()f xf x，且12xx，证明：122xxeea7 （2021 春浙江期中）已知函数22( )(0)f xxaxa lnx a（）讨论函数( )f x的单调性；（）若函数( )f x有两个零点1x，2x（）求a的范围；（）若0a ，求证：12xxa8 （2021昆山市开学）已知函数sin( )xxf xe，(0, )x（1）求函数( )f x的单调区间；（2）若12xx，且12()()f xf x，证明：122xx9 （2021辽宁开学）已知( )xf xe，( )sincosg xxx（1）若函数2( )(1)( )2axF xxf x，0a ，求( )F x的单调区间；（2）若过点(0, )b能作函数( )(0)( )xG xxf x的两条切线，求实数b的取值范围；（3）设( )3( )()( )44g xH xxf x，且1212()()()H xH xxx，求证：1202xx10 （2021 秋恩施州月考）已知函数( )f xxlnx（1）判断( )f x的单调性；（2）设方程( )210f xx 的两个根为1x，2x，求证：2122exxe11 （2021东湖区开学）已知函数2( )(3)f xxlnxx（1）判断( )f x的单调性；（2）若1212()()2()f xf xxx，求证：122xx12 （2021 秋江苏月考）已知函数( )()af xlnxaRx有两个零点（1）证明：10ae（2）若( )f x的两个零点为1x，2x，且12xx，证明：1221axx第五章 导数极值点偏移专题第五章 导数极值点偏移专题专题训练卷1 （2021 秋南明区月考）已知函数( )(2)xf xa xe，(21)( )axg xlnxx（其中e为自然对数的底数，a为常数） （1）讨论函数( )f x的单调性；（2）证明：当函数( )f x有极大值，且极大值为a时，若方程( )(g xm m为常数）有两个不等实根1x，2x，则122xx【答案】 （1）由题意可得( )xfxae，当0a时，( )0 xfxae在R上恒成立，所以函数( )f x在R上单调递减；当0a 时，令( )0fx得xlna，令( )0fx得xlna，所以函数( )f x在(,)Ina上单调递增，在(lna)上单调递减，综上所述：当0a时，函数( )f x在R上单调递减；当0a 时，函数( )f x在(,)Ina上单调递增，在(lna)上单调递减（2）证明：由（1）可知，当0a 时，函数( )f x有极大值()f lna，且()(2)1)f lnaa lnaaalnaa，解得1a ，此时，211( )2xg xlnxlnxxx，所以211( )g xxx，令( )0g x得1x ，( )0g x得01x，( )g x图象如图所示，因为方程( )(g xm m为常数）有两个不等实根1x，2x，所以1(0,1)x ，2(1,)x ，设(0,1)x，则2(1,2)x，令1111( )( )(2)2( (2)2)(2)22F xg xgxlnxlnxlnxlnxxxxx，22222222222111111114(1)4(1)( )(1)()(1)()02(2)(2)(2)(2)(2)xxxxF xxxxxxxxxxxxxxx对(0,1)x成立，所以( )F x在(0,1)单调递减，因为 F （1）0，所以( )0F x ，即( )(2)g xgx，即11()(2)g xgx，因为12()()g xg x，所以212xx，即：122xx2已知函数2( )(0)axxf xae的极大值为21e(e为自然对数的底数）( ) I求a的值；（）若122xx且120 xx，求证：12()()f xf x【答案】 （1）2(2)( )(0),( )axaxxxaxf xafxee，令( )0fx，解得20 xa； 令( )0fx，解得0 x 或2xa，所以函数( )f x 在2(,0),( ,)a 上单调递减，在2(0,)a 上单调递减，于是2222( )21( )af xfaee极大值，解得2a 或2a （舍)，即a的值为 2（2）证明：由（1）知，222(2)( ),( )xxxxxf xfxee，因为122xx 且120 xx，所以212xx 且1201xx ，要证12()()f xf x，即证11()(2)f xfx，令( )( )(2)(01)g xf xfxx ，则24 224 2(2)(2)11( )(2)()0 xxxxxxx xg xxxeeee，于是函数( )g x 在区间(0,1)上单调递增，所以1()g xg（1）0，即11()(2)0f xfx，那么11()(2)f xfx，证毕3 （2021 秋南平月考）已知函数1( )xxf xe（1）求( )f x的单调区间与极值（2）设m，n为两个不相等的正数，且mlnnnlnmmn，证明：4mne【答案】 （1）2(1)2( )xxxxexexfxee，当(,2)x 时，( )0fx，( )f x单调递增，当(2,)x时，( )0fx，( )f x单调递减，当2x 时，( )f x取得极大值21e，综上，( )f x的单调递增区间为(,2)，递减区间为(2,)，极大值为21e，无极小值；（2）证明：由（1）知，x 时，( )f x ，x 时，( )0f x，( )(f x ，21e，由mlnnnlnmmn得11lnmlnnmlnn，又11()lnmlnmlnmf lnmem，同理，1()lnnf lnnn，lnm与lnn是21( )(0)f xtte 的两个正根，其中02lnm，2lnn ，4(0,2)lnn，要证明4mne，只需证明：4lnmlnn，即证4lnmlnn，又( )f x在(0,2)单调递增，只需证()()(4)f lnmf lnnflnn，令( )( )(4)(2)h xf xfx x，则4422(4)1( )( )(4)(2)()0 xxxxxxeh xfxfxxeeee，( )( )(4)h xf xfxh（2）f（2）f（2）0，( )(4)f xfx，即结论成立4 （2021 秋相城区月考）已知函数2( )(2)f xaxaxlnx（1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围；（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为1x，2x，证明：122xxa【答案】 （1）函数( )f x的定义域为1(1)(21)(0,),( )22axxfxaxaxx，若0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(0,)上单调递减；若0a 时，令( )0fx得1xa，当1(0,)xa时( )0fx；当1( ,)xa时( )0fx，所以( )f x在1(0,)a上单调递减，在1( ,)a上单调递增（2）若0a时，由（1）知( )f x至多有一个零点，若0a 时，由（1）知当1xa时，( )f x取得最小值，最小值为11( )1flnaaa 当1a 时，由于1( )0fa，故( )f x只有一个零点，当1a 时，110lnaa，即1( )0fa，故( )f x没有零点，当01a时，110lnaa，即1( )0fa，又2211112( )( )(2)( )10aafaalneeeeeee ，由（1）知( )f x在1(0,)a上有一个零点又2333333( )( )(2)( )340faalnlnaaaaaa，由（1）知( )f x在1( ,)a有一个零点所以( )f x在(0,)上有两个零点综上，a的取值范围为(0,1)（3）证明：由（2）知，当01a时，( )f x在(0,)上有两个零点1x，2x，不妨设12xx，则由（2）知，12113xxeaa，且121xaa，令22( )( )(),(0,)F xf xfx xaa，有22222211( )(2) ()(2)()()2()2( )2()2F xaxaxlnxaxaxlnxaxlnxlnxF xaaaaaxxa，由 于2211211()()()(2)(22)22222222xxaaxaxaaxxaxaxxxxxxxaaaa（ 且 仅当1xa等号成立） ，所以当11 2(0,)( ,)xaa a时，( )0F x，当1xa时，( )0F x，所以( )F x在2(0,)a单调递减，又1( )0Fa，所以11()( )0F xFa，即1112()()()0F xf xfxa，又12()()f xf x，所以212()()f xfxa，又由于211 21,xxa aa，且( )f x在1( ,)a上单调递增，所以212xxa，所以122xxa5 （2021 秋沧州月考）已知函数( )xf xaex，0a （1）若1a ，求( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个不同的零点1x，2x，证明：12x xae【答案】 （1）当1a 时，( )xf xex，(,)x ，则f ( )1xxe因为(,0)x 时，f ( )0 x ，( )f x单调递减，(0,)x时，f ( )0 x ，( )f x单调递增，所以( )f x的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,)（2）证明：1x，2x是( )f x的两个不同的零点，等价于1x，2x是方程xxea 的两个不同的根，也是方程xxae 的两个不同的根，由0a ，可知10 x ，20 x 要证12x xae，只需证212xxeaa，只需证122xxee，即证122xx令( )xxh xe，则1( )xxh xe，所以(0,1)x时，h ( )0 x ，( )h x单调递增；(1,)x时，h ( )0 x ，( )h x单调递减不妨设12xx，则1201xx ，121x，令22( )( )(2)(0)xxxxxh xhxxee，则222( )(1)xxeexxe，所以01x时，( )0 x，( )x单调递增，又（1）0，所以01x时，( )0 x，即121()()(2)h xh xhx因为(1,)x时，( )h x单调递减，所以212xx，即122xx故原结论正确，即12x xae6 （2021 秋河北月考）已知221( )2xf xea x，0a （1）若( ) 0f x ，求a的取值范围；（2）若12()()f xf x，且12xx，证明：122xxeea【答案】 （1）解：函数221( )2xf xea x，0a ，令xte，则0t ，所以函数221( )(0)2f tta lnt t，则2()()( )ata taf tttt ，当0ta 时，( )0f t，