导数专题 双变量问题之极值点偏移（解答版）.docx

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1、双变量问题之极值点偏移知识与方法1.设函数在定义域上有极值点，但由于函数在极值点左右两侧的增减速率不对称，造成函数图象不关于直线对称.当时，极值点必然会偏向或中的某一个，也即或者，在给定的函数背景下，证明上面的两个不等式这类问题称为极值点偏移问题.2.极值点偏移问题常用的解题方法有两种：（1）构造对称差函数，研究其单调性，证明不等式；（2）通过变形，转化为双变量问题，用齐次换元化归成单变量不等式证明问题.提醒：其实诸多极值点偏移问题，还可以用对数平均不等式求解，但这一不等式不宜直接使用，所以正式作答时，建议使用前面的两个解法.真题必刷1（）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数

2、的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）如果，且，证明：.【解析】（1），由得：；由得：，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故有极大值，无极小值.（2）设为图象上任意一点，则它关于直线的对称点在的图象上，所以，从而，当时，要证，即证，故只需证，设，则，所以在上单调递减，从而，即不等式成立，所以成立.（3）解法1：不妨设，由（1）可得，要证，只需证，因为，故，结合在单调递减知只需证，又，故只需证，即证，令，则，因为，所以且，故，所以，即在上单调递增，结合知，即，所以，故成立.解法2：不妨设，由（1）可得，又当时，当时，所以，因为，所以，两边取对数得：，故，所以，故要证，只需证，即

3、证，令，则，且只需证，即证，令，则，故在上单调递增，结合知当时，即，故不等式成立.2.（）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，.【解析】（1）由题意，的定义域为，且，因为，所以当时，；当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）不奻设，由（1）可得，要证，只需证，因为在上单调递增，故又只需证，结合知只需证，即证，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以，即，从而在上单调递减，结合知，所以，故不等式成立.3.（）设函数，其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若.（i）证明：恰有2个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，由题意，若，则，所以

4、在上单调递增.（2）（i）由（1）知，设，则，因为，所以，故在上单调递减，又，且，所以在上存在唯一的零点且，当时，所以单调递增，当时，所以单调递减，又，所以在上有一个零点，且，另一方面，易证当时，由于，所以，故，从而，所以，故在上有唯一的零点，综上所述，恰有两个零点.（ii）证法1：由题意，所以，由可得，代入得，所以，因为当时，又，所以，两边取对数，得，于是，整理得.证法2：由（i）知，下面先证，要证，只需证，由于，且在上单调递减，所以只需证，又，故只需证，即证，又，所以，从而只需证，即证，设，则，所以在上单调递增，结合知，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，故，从而，即，所以要证不等式成

5、立，又只需证，设，则、所以在上单调递减，又，所以恒成立，从而，即不等式（2）成立，所以成立，故，又，所以，从而，故.强化训练1.（）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若是的2个零点，且，证明：.【解析】（1）由题意，的定义域为，且，当吋，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）证法1：由（1）知当时，在上单调递增，故最多1个零点，不合题意，所以，且在上单调递增，在上单调递减，所以，要证，只需证，注意到，又在上单调递减，故只需证，结合知只需证，即证，设，则，所以在上单调递增，又，所以，从而成立.证法2：由题意，两式作差得：，故，要证，只需证，因为，所以，故只需证，即

6、证（1），设，则，且不等式（1）即为，故只需证，即证，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，从而成立.2.（）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴有2个交点，且，证明：【解析】（1）当时，所以当时，；当时，从而的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解法1：，考虑二次函数，因为，所以在上有唯一的零点，且当时，即；当时，即，所以在上单调递增，在上单调递减，由题意，要证，只需证，即证，也即，因为，所以，结合在上单调递减知又只需证，又，故只需证，即证，令，则，由得：，代入式（1）得：，所以在上单调递增，结合知，因为，所以，故成立.解法2：由题意，两式作差整理得：，又，故，将式代入整理得：，故要证，只需证，结合知只需证，即证，令，则，不等式即为，令，则，所以在上单调递减，结合知，即成立，所以.