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类型专题11 一元函数的导数及其应用(导数中的极值偏移问题)(全题型压轴题)(解析版).docx

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    1、专题11 一元函数的导数及其应用(导数中的极值偏移问题)(全题型压轴题)导数中的极值偏移问题对称化构造法差值代换法比值代换法对数均值不等式法对称化构造法1(2022广东深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数(其中e为自然对数的底)(1)若在上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若,是的极值点且.若,且. 证明:.【答案】(1)(2)见解析(1)因为在上单调递增,所以在恒成立,所以在恒成立,令,当时,在恒成立,在上单调递增,所以,所以满足题意.当时,令,则.(i),所以,在单调递增,所以,所以满足题意.(ii),在上单调递减,在上单调递增,所以,令,所以在恒成立,所以在上单调递减,而,所以不成立.

    2、所以实数a的取值范围为:.(2),因为是的极值点,所以满足,令,则若,解得,所以当时,当时,所以,所以是唯一负极值点,且在上单调递增,在上单调递减,要证明,即证明,化简得,由于在上单调递增,且由,可知.故,从而可推得,而,因此.令,则,而,所以,故单调递增,从而,即,从而,即证得.2(2022四川泸州高二期末(文)已知函数,e为自然对数的底数.(1)若函数在上有零点,求的取值范围;(2)当,且,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析(1)令,即,则函数在上有零点等价于方程在上有解,设,则,故函数在上是减函数,在上是增函数,故所以a的范围是.(2)因为,故,因为,所以得,故在上是减函数,在上是增

    3、函数因为,所以不妨设,设(),故,所以在上是增函数,所以,即,故,即,因为,且,所以,因为在上是减函数,所以,故.3(2022黑龙江双鸭山一中高三开学考试)已知函数(1)求函数的单调区间;(2)当时,证明:【答案】(1)单调递增区间:,单调递减区间:(2)证明见解析(1)解:,令,得x1,当时,单调递减;当时,单调递增,故函数的减区间为,增区间为;(2)证明:由(1)知,不妨设,构造函数,故,故在上单调递减,又,即,又在上单调递增,即,得证4(2022江苏盐城市第一中学高三阶段练习)已知函数f(x)ex(lnx+a)(1)若f(x)是增函数,求实数a的取值范围;(2)若f(x)有两个极值点x1

    4、,x2,证明:x1+x22【答案】(1)1,+)(2)证明见解析(1)函数的定义域为,若f(x)是增函数,即f(x)0对任意x0恒成立,故恒成立,设,则,所以当0x1时,g(x)0,g(x)单调递减,当x1时,g(x)0,g(x)单调递增,所以当x1时,g(x)ming(1)a+1,由a+10得a1,所以a的取值范围是1,+)(2)不妨设0x1x2,因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以,即,同理,故x1,x2是函数的两个零点,即g(x1)g(x2)0,由(1)知,g(x)ming(1)a+10,故应有a(,1),且0x11x2,要证明x1+x22,只需证x22x1,只需证g(x2)g(2

    5、x1)g(x1)g(2x1),设,则,所以h(x)在(0,1)上单调递减,因为x1(0,1),所以h(x1)h(1)0,即g(x2)g(2x1)0,g(x2)g(2x1),又x21,2x11,及g(x)在(1,+)上单调递增,所以x22x1成立,即x1+x22成立5(2022广东佛山高二期末)已知函数,其中(1)若,求的极值:(2)令函数,若存在,使得,证明:【答案】(1)极小值为,无极大值.(2)证明见解析(1)解:当时,所以,当时,所以,当时,所以,所以在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)证明:,令,则上述函数变形为,对于,则,即在上单调递增,所以若存在,使得,则存

    6、在对应的、,使得,对于,则,因为,所以当时,当时,即在上单调递减,在上单调递增,所以为函数的唯一极小值点,所以,则,令,则,所以在上单调递减,所以,即,又,所以,又的单调性可知,即有成立,所以.6(2022甘肃酒泉模拟预测(文)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:【答案】(1)(2)证明见解析(1)解:因为,则,所以,所以,曲线在点处的切线方程为,即.(2)证明:因为,所以因为为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增由方程有两个不等实根、,则可设,欲证,即证,即证,而,即,即,设,其中,则,设,则,所以,函数在上单调递增,所以,所以在上单调

    7、递减,所以,即,故得证7(2022河南民权县第一高级中学高三阶段练习(理)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若函数有两个不同的零点,证明:.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(1),得,当时,单调递减,当时,令,解得,所以当,函数单调递减,当,函数单调递增,综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由题可知函数有两个零点,记,则,当时,单调递增,不可能有两个零点,当时,令,得,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减,因为有两个零点,所以,解得.所以不妨设,要证,即证,因为,又在单调递减,所以即证,即证,构造函数,所以,所以函数在单调递增,且,所以当

    8、时,即,所以,即,得证.8(2022江西新余市第一中学三模(理)已知函数,.若函数在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围;(2)当时,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析(1)函数定义域为,在内有两个不同的极值点、,等价于在内有两个不同的零点、设,由,当时,在上单调递增,至多只有一个零点,不符题意;当时,在上,单调递增;在上,单调递减,当时,函数有两个零点,则必有,即,解得易证,证明如下:令,当时,单调递减,当时,单调递增,故,故,得证,又,在和上各有一个零点、,此时:00极小值极大值故在定义域内有两个不同的极值点时,a的范围为;(2)方法1:由(1)可知是的两个零点,不防

    9、设,由且,得令,则,记,则,令,又,则,即,在上单调递增,故,即成立不等式成立方法2:欲证,由,则只需证:不妨设,则且,则,令,则,记,由,即在上单调递增,故,即成立.故差值代换法1(2022江苏江苏高三期末)设f(x)xexmx2,mR.(1)设g(x)f(x)2mx,讨论函数yg(x)的单调性;(2)若函数yf(x)在(0,)有两个零点x1,x2,证明:x1x22.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1),时,当时,是单调递增函数,当时,是单调递减函数;时,令,得,当即时,或时,是单调增函数, 时,是单调递减函数,当即时,或时,是单调增函数, 时,是单调递减函数,当即时,在上

    10、是单调增函数, 综上所述时,在是单调递增函数,在上是单调递减函数;时,在,上是单调增函数, 在是单调递减函数,时,在, 上是单调增函数, 在是单调递减函数,时,在上是单调增函数.(2)令,因为,所以,令, ,两式相除得, 不妨设,令,则,代入得:,反解出:,则,故要证即证,又因为,等价于证明:,构造函数,则,故在上单调递增,从而在上单调递增,.即.比值代换法1(2022河北省唐县第一中学高二阶段练习)已知函数.(1)若有两个零点,的取值范围;(2)若方程有两个实根、,且,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解:函数的定义域为.当时,函数无零点,不合乎题意,所以,由可得,构造函数,其中,

    11、所以,直线与函数的图象有两个交点,由可得,列表如下:增极大值减所以,函数的极大值为,如下图所示:且当时,由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,故实数的取值范围是.(2)证明:因为,则,令,其中,则有,所以,函数在上单调递增,因为方程有两个实根、,令,则关于的方程也有两个实根、,且,要证,即证,即证,即证,由已知,所以,整理可得,不妨设,即证,即证,令,即证,其中,构造函数,其中,所以,函数在上单调递增,当时,故原不等式成立.2(2022全国高三专题练习)设函数为的导函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数;(3)若有两个极值点且,证明:.【答案】(1)单调递增区间为,单调递

    12、减区间为(2)答案见解析(3)证明见解析(1)解:因为, 所以即,则 当时,单调递增;当时,单调递减所以的单调递增区间为,的单调递减区间为(2)解:由(1)得, 当时,则在上无零点 当时,则在上有一个零点 当时,因为,所以,故在上有两个零点 综上,当时,在上无零点;当时,在上有一个零点;当时,在上有两个零点(3)证明:由(2)及有两个极值点,且,可得, 在上有两个零点,且所以,两式相减得,即 因为,所以 下面证明,即证 令,则即证 令,则,所以在上单调递增,所以,故 又,所以,故3(2022四川阆中中学高二阶段练习(文)已知函数(1)若函数为增函数,求实数的取值范围;(2)若函数有两个极值点、

    13、求证:【答案】(1)(2)证明见解析(1)解:因为,该函数的定义域为,若函数为增函数,则恒成立令,令得,当时,单调递减;当时,单调递增,故,所以,因此(2)解:因为函数有两个极值点、,即方程有两个不等的实根、,因为在上递减,在上递增,所以,即、是的两个根,所以,则,所以,即证,即证由两式作差得,令,则,即只需证,即证令,其中,则,故在区间上单调递减,当时,命题得证4(2022全国高二期末)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图象与的图象交于,两点,证明:.【答案】(1)增区间为,减区间为(2)证明见详解(1)的定义域为令,解得令,解得所以的单调增区间为,减区间为(2)由(1)得由题

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