专题08 导数中的极值和极值点偏移(解析版).docx

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1、专题08 导数中的极值和极值点偏移 一、重点题型目录【题型】一、求已知函数的极值【题型】二、根据极值点求参数【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系【题型】五、求已知函数的极值点【题型】六、函数最值与极值的关系【题型】七、导数中的极值偏移问题二、题型讲解总结【题型】一、求已知函数的极值例1（2023全国高三专题练习）等比数列中的项，是函数的极值点，则（）A3BCD【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，

2、故，是的两个根，所以，所以，又，所以，设公比为，所以.故选：D.例2（2023全国高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（）ABCD【答案】B【分析】对每个选项求导，然后判断即可【详解】对选项A，故没有极值点；对选项B，则极值点为，故正确；对选项C，故没有极值点；对选项D，故没有极值点；故选：B例3（2023全国高三专题练习）已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）A0B1C2De【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.【详解】令，得到，函数至多有2个

3、不同的零点，等价于至多有两个不同的根，即函数与至多有2个不同的交点令，则，当时，单调递增，当或时，单调递减，所以与为函数的极值点，且，且在R上恒成立，画出的图象如下：有图可知：或时，符合题意，其中，解得：设，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，由可得：，所以，综上：实数a的最大值为2故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.例4（2023全国高三专题练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（）A1B4CD【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数在处

4、取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，从而有，求导得：，当或时，当时，于是，在处取得极小值，在处取得极大值，所以的极大值为4.故选：B【题型】二、根据极值点求参数例5（2023全国高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，因为函数有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两个不等实根，亦即有两个不等实根.令，则可知在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，当时，所以，解得，即a的范围是.故选：B例6（2023全国高三专题练习）若函数在区间0，)内有且只有

5、两个极值点，则正数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于的不等关系，即可求得参数范围.【详解】因为在有2个极值点，也即在区间取得一次最大值，一次最小值；又，则当，要使得满足题意，只需，解得.故选：C.例7（2023全国高三专题练习）若是函数的极值点，则函数（）A有最小值，无最大值B有最大值，无最小值C有最小值，最大值D无最大值，无最小值【答案】A【分析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，且，可得.且，当时，递减；当时，递增；有极小值，无极大值.综上，有最小值，无最大值.故选：A例8（2023全国高三专题练

6、习）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_【答案】【分析】先求函数的导函数，由条件是函数的唯一极值点，说明在上无解，或有唯一解 ，求实数的取值【详解】的定义域为 是函数的唯一极值点 是导函数的唯一根（）在无变号零点令 ，则 ，即在上单调递增此时 （）当 在有解 时，此时 ，解得 此时 在 和 上均单调递增，不符合题意故答案为：【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系例9（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）AB函数在xc处取得最大值，在处取得最小值C函数在xc处取得极大值，在处取得极小值D函数的最小值为【答案

7、】C【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，所以函数在上单调递增，又abc，所以，故A不正确因为，且当时，；当cxe时，所以函数在xc处取得极大值，但不一定取得最大值，在xe处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确由题图可知，当时，所以函数在d，e上单调递减，从而，所以D不正确故选：C例10（2023全国高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A是的极小值点B是的极小值点C在区间上单调递减D曲线在处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可

8、判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.【详解】由图像知，当或时，单调递增，当时，单调递减，所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.故选：D.例11（2023全国高三专题练习）函数定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（）A1B2C3D4【答案】A【分析】根据导函数的图象可判断出的单调性，结合极小值点的概念即可得结果.【详解】由的图象可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极小值点，即在区间内极小值点的个数是1

9、，故选：A.例12（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：函数在区间上单调递减；若，则；函数在上有3个极值点；若，则其中正确命题的序号是（）ABCD【答案】B【分析】根据图象判断函数单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.【详解】中，看图知，在区间上，在区间上，故函数在区间上先增再减，错误；中，看图知，在区间上，是下凸的，任意连接两点，中点为，线段一定在图象上方，故中点也在图象上方，即，故正确；中，看图知，在区间上，在区间上，在区间上，所以有一个极大值点和一个极小值点，故错误；中，看图知，在区间上，且递减，故单调

10、递增，故，故，即正确.综上，正确命题的序号是.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数判断函数的单调性和极值的方法：写定义域，对函数求导；在定义域内，令 的区间即是增区间，令的区间即是减区间，根据单调区间，判断极值点即可.【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系例13（2023全国高三专题练习）函数f(x)ax3bx2cxd的图像如图，则函数yax2的单调递增区间是（）A(，2BCD【答案】D【分析】由图象知，不妨取，先对函数进行求导，根据，时函数取到极值点知，故可求出，的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案【详解】解：不妨取，由图可知，当时，的单调递增区间为：，故选：D例14（2023

11、全国高三专题练习）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】首先求函数的解析式，再根据平移公式，求解函数的解析式，结合函数的图象，列式求实数的取值范围.【详解】由题意知的最小正周期，作出的图象如图所示，数形结合可知 ，解得： 实数a的取值范围是.故选：D例15（2023全国高三专题练习）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）A在内是增函数B在内是增函数C在时取得极大值D在时取得极小值【答案】B【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，在区间上递减

12、；在区间上递增.所以不是的极值点，是的极大值点. 所以ACD选项错误，B选项正确.故选：B例16（2023全国高三专题练习）已知函数（，且），则（）A当时，恒成立B当时，有且仅有一个零点C当时，有两个零点D存在，使得存在三个极值点【答案】ABC【分析】选项A，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C，结合选项A中的新函数进行判断；选项D，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D【详解】对于A选项，当时，即，设， 则，故当时，当时，所以，故A正确；对于B选项，当时，单调递减，且当时，因此只有一个零点，故B正确；对于

13、C选项，即，当时，由A选项可知，因此有两个零点，即有两个零点，故C正确；对于D选项，令，得，两边同时取对数可得，设，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，因此最多有两个零点，所以最多有两个极值点，故D错误.故选：ABC.【题型】五、求已知函数的极值点例17（2023全国高三专题练习）已知函数，对于以下3个命题：函数有2个极值点函数有3个零点点是函数的对称中心其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【答案】C【分析】利用导数研究的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据判断对称中心.【详解】令，可得，所以、上，递增；上，递减；所以是的极值点，又，所以在上存在一个零点，所以有2个极值点，1个零点，正确，错误；，故是函数的对称中心，正确.故选：C例18（2023全国高三专题练习）已知是函数的一个极值点，则的值是（）A1BCD【答案】D【分析】由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.【详解】，故选：D例19（2023全国高三专题练习）已知函数，则所有极值点的和为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知条件，令，求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得极值点，从而可求解所有极值点的和.【详解】